Annie Chalon-Blanc

Les étapes de la construction du nombre (de la maternelle au cours préparatoire).

En février 2018, Cédric Villani et Charles Torossian proposent 21 mesures pour permettre aux jeunes Français de redevenir de bons élèves en calcul mental et en résolution de problèmes (ce qu’ils ne sont plus[1]). En 1941, Piaget et sa collaboratrice Alina Szeminska publient « La genèse du nombre, GN», ouvrage susceptible de retracer la construction du nombre chez tous les enfants et de montrer de manière fictive comment le nombre a été inventé (cf,: « L’invention du nombre »sur ce blog).

L’article ci-dessous donne les résultats essentiels de 1941, qui restent d’actualité, auxquels viennent s’ajouter ceux de Pierre Gréco (1962) qui cherche à connaître l’impact de la connaissance des mots-nombres sur la construction d’un vrai nombre, soit d’une vraie quantité discrète.

En 1941 comme en 1962, les auteurs ne confondent pas la connaissance de la suite nominale des mots-nombres (recommandée en maternelle en 2018) et la quantité discrète qu’elle véhicule. On peut enseigner les mots-nombres aux jeunes enfants, mais pour leur enseigner la quantité, il est conseillé de leur faire pratiquer des exercices de correspondance terme à terme tels que ceux que nous décrivons ci-dessous.

Mots-clés dans leur ordre d’apparition :

Une quantité discrète est composée d’éléments physiquement distincts à l’opposé d’une quantité continue (longueur, surface, volume) composée d’un tout continu.

La correspondance terme à terme entre deux collections discrètes : Mettre un élément et un seul pour un élément et un seul de la collection témoin. 

La conservation est l’affirmation justifiée par le sujet d’une même quantité quelle que soit sa configuration dans l’espace après quatre transformations successives. En l’absence d’un tel jugement, il est difficile de parler du nombre et de la quantité. En présence d’un jugement de conservation, on conclura au maniement d’un vrai nombre et d’une vraie quantité discrète.

L’ordre correspond à la nécessité d’épuiser tous les éléments d’une collection sans redoublement ou omission d’aucun pour la dénombrer.

L’ordre vicariant (ou la vicariance de l’ordre) est tel que le résultat du dénombrement est indépendant de l’élément choisi pour commencer. Les éléments peuvent être bousculés, l’ancien premier peut devenir le dernier, le résultat sera toujours le même à condition de n’en oublier aucun et de n’en recompter aucun deux fois.  

Abstraire : Extraire une propriété commune entre plusieurs collections.

Vulnérabilité : un sujet est dit vulnérable quand il entend ses contradictions : «  j’ai dit moins, j’avais dit plus… je ne sais plus ». A l’inverse le jeunes sujets se contredisent sans aucune difficulté, ils sont dit invulnérables

Pour rapporter les résultats obtenus par Piaget et Szeminska (1941) et Gréco (1962), nous utiliserons le terme niveau pour caractériser les quatre étapes par lesquelles passent tous les enfants pour construire un vrai nombre, c’est-à-dire une quantité invariante quelle que soit la manière de la figurer dans l’espace.

Nous décrirons chaque niveau en désignant les procédures, les réalisations et les justifications des enfants utilisées dans des épreuves de correspondance terme à terme. Le principe de chaque épreuve consiste à demander d’abord aux sujets de prendre « égal » de jetons que dans la collection modèle pour confectionner sa propre collection. Puis une fois l’égalité reconnue entre les deux collections par le sujet, l’expérimentateur déforme une des collections et demande « A ton avis : Plus de jetons ici ou plus là ? (en indiquant chacune des collections » La collection modèle sera composée de  6  à 7 éléments au moins  qui seront successivement disposés selon 4 configurations différentes (ligne, cercle, carré, grecque) pour s’assurer que la quantité survit à toutes les vicissitudes des figures.

 Niveau 1: Absence de correspondance, estimation qualitative et globale de la quantité discrète (âge approximatif: 4/5 ans)

Observations, en italiques les réponses des sujets.

Pat (4ans ; 10mois). – Sait compter jusqu'à 19, et dénombrer correctement et sans hésitation une ligne irrégulière de 13 jetons. On lui présente alors une configuration irrégulière (collection modèle), une sorte de grecque, composée de 9 jetons blancs et une boîte pleine de jetons rouges. Commence alors l'épreuve proprement dite : "Prends égal de rouges, il ne doit pas y avoir plus de rouges que de blancs. Il faut égal de rouges et de blancs - Est-ce qu'on peut faire une petite ronde ? - Si tu veux, tu fais comme tu veux. Mais tu dois prendre égal de rouges et de blancs, le même nombre. - Je vais faire une petite ronde alors. "Il prend alors une poignée de jetons (=11), les pose sur la table et les dispose minutieusement en cercle régulier, sans s'occuper du modèle. "Voilà, ça fait une petite ronde et comme ça, c'est fermé. - Mais est-ce qu'il y a égal de rouges et de blancs ? - Ah non ! C'est une petite ronde. Je vais faire comme ça. (Avec ses 11 jetons, il fait d'abord une colonne verticale de 8, puis construit à côté une ligne en U rectangulaire de 14 jetons, en prenant 11 nouveaux jetons dans la boîte). Voilà, ça y est ! (Il y a alors 22 jetons rouges sur la table). - Est-ce qu'il y a le même nombre de rouges et de blancs ? – Ah ! Mais non, il faut faire un petit rond (mais, prié de le faire, il se borne à répartir ses 22 jetons en deux colonnes égales et parallèles). C'est fini ! - Est-ce que c'est bien égal (2) ? – Oui ! – Où ? Là et là ? (On montre les deux colonnes de rouges, égales en effet.) - Non, là ! (Il montre tous les rouges) et là (montre tous les blancs) ! - Tu es bien sûr ? - Heu. Qui a plus, toi ou moi ? - C'est moi ! (Ravi) - Alors qu'est-ce qu'il faut faire pour qu'on ait égal tous les deux ? - En enlever un peu (Il ôte aussitôt 14 rouges, mais sans regarder les blancs, et réarrange en ligne brisée les 12 jetons rouges qui restent). - C'est égal (2) maintenant les rouges et les blancs ? - Je sais pas. - On pourrait savoir si c'est égal ? – Non ! " (Gréco, E.E.G. XIII, p. 35)

1) Procédures. Elles dénotent une sorte d’indifférenciation entre la quantité discrète et le continu. Les enfants de ce niveau abordent une collection discrète comme une forme globale qui ne serait pas constituée d'éléments distincts. Ils cherchent à donner un sens aux questions à partir des figures qu'ils observent. Ainsi, Pat copie un objet total dont il assimile tous les éléments à la forme d'une petite ronde. Celle-ci pourrait aussi bien être réalisée avec un lacet, une ficelle ou toute autre quantité continue qu'avec des éléments distincts. Les enfants n'estiment pas encore nécessaire de se reporter scrupuleusement à la collection modèle pour réaliser leur collection. Quand ils ont reconnu une forme plus ou moins familière à partir d'un détail privilégié, ils négligent joyeusement le modèle pour se livrer à des activités ludiques. En somme, à ce niveau, les procédures sont exclusivement qualitatives, la quantité n’existe pas.

2) Réalisations. Elles présentent une très vague ressemblance avec la collection modèle. Le degré de ressemblance est plutôt intimement lié à la forme initialement reconnue.

3) Justifications. a) Face à des réalisations fantaisistes, les questions de conservation (Plus dans les rouges ou plus dans les blancs ?) ne s’imposent pas puisque ces enfants sont incapables de réaliser une correspondance terme à terme exacte. b) On retiendra, au passage, la prégnance de la première inférence qui conduit Pat à des stéréotypies langagières. "Sa petite ronde" reste présente tout au long de l'entretien en dépit des diverses manipulations effectuées. c) Toutes ses réponses dénotent une pensée uniquement centrée sur la forme et ses propos stéréotypés servent une discordance totale entre le dénombrement correctement accompli (13 jetons) et le maniement d'un vrai nombre. Pour mettre en évidence ce décalage, Gréco pose une ingénieuse question : "Comment est-ce qu'on pourrait savoir si les collections sont égales ?" Pat, qui sait la suite nominale des nombres jusqu’à 19 et dénombrer jusqu'à 13, lui donne une réponse confondante : "Je sais pas"! En somme, Pat manie "13" et "19" comme des mots utiles à étiqueter une collection et non pas comme les noms des nombres.

Ajoutons quelques observations relatives à ce que les enfants de ce niveau réalisent non plus à partir d’une configuration irrégulière (la grecque) mais face à une ligne ou à des figures géométriques. On retrouve des procédures uniquement qualitatives, soit l'absence de jugements de conservation de la quantité véhiculée par les mots-nombres. Les enfants éprouvent le besoin de rajouter ou d'enlever des éléments à des collections numériquement égales en réponse à la question : "Que faudrait-il faire pour qu'il y en ait égal ?"

Char (4;4) commence par aligner 11 boutons en rang serré, pour égaler les 6 boutons espacés du modèle, puis comme sa rangée dépasse l'autre, il enlève les 3 éléments terminaux et atteint ainsi la même longueur: "C'est la même chose? - Oui. - Tout à fait ? - Oui. - (On espace les 6 éléments de la rangée modèle et on resserre les 8 de sa rangée.) Et maintenant ? - Il y a plus là (les 6)."

Boq (4;7): "Mets ici autant de bonbons que là. Ça (6) c'est pour Roger. Il faut en prendre la même chose pour toi. - (Il aligne en un rang serré une dizaine de grains mais sans égaler encore celle de la rangée-modèle.) - C'est la même chose ? - Pas encore (il en rajoute). - Et maintenant ? - Oui. – Pourquoi ? - Parce que c'est comme ça (montre les longueurs). - (On écarte les 6 grains du modèle.) Qui a plus ? - C'est Roger. – Pourquoi ? - Parce que ça va jusque-là. - Qu'est-ce qu'il faut faire pour avoir la même chose ? - En remettre (il rajoute 1). (On resserre ces 7 grains et on espace les siens.) - Maintenant j'ai plus."

A la fin de l'interrogatoire, nous offrons à Boq deux rangées de bonbons, l'une formée de 3 bonbons espacés et l'autre de 4 bonbons serrés, la première étant donc plus allongée que la seconde: "Où y en a-t-il le plus? - Là (les 3). Pourquoi? - C'est une plus grande ligne." ( Piaget, Szeminska ,G.N., p. 90)

4) En synthèse, les caractéristiques de ce niveau sont :

a) Au plan formel, la quantité n’existe pas puisqu’elle est tout entière assimilée à sa forme. Piaget appelle cette absence de quantité, "une quantité brute". Les comparatifs de quantité "plus", "moins", "égal" sont réglés sur une seule qualité à la fois (la longueur ou la densité) figurée sur les deux collections à comparer. Comble de l’inexistence de la quantité discrète, les ajouts et les retraits sont les instruments de l'égalisation pour des collections numériquement égales mais de longueur inégale ! Bref, le tout n'est pas délimité, il peut augmenter ou diminuer à loisir faute d’exister.

b) Au plan psychologique, la pensée est foncièrement irréversible. Aucun jugement n'est réglé sur des transformations (= actions qui modifient la forme) exécutées mentalement. Toutes les réponses sont confinées dans les apparences, autrement dit, les enfants règlent leurs jugements sur une juxtaposition de formes données aux collections sans établir aucune liaison entre elles. La pensée passe d’une forme à l’autre, sans anticipation ou rétroaction.

Niveau 2: La correspondance optique qualitative (de bons yeux pour voir) sans conservation de l'équivalence (âge approximatif: 5/6 ans)

Observations :

Nil (5;0) commence par mettre 2 éléments de trop en copiant une croix de 9 jetons, mais se corrige spontanément en pointant après coup les jetons mis en correspondance. Il reproduit correctement une maison de 11 éléments et surtout un cercle de 10 jetons. Ce cercle est copié en respectant la valeur du diamètre. Lorsque l'on demande à Nil si c'est bien "la même chose", il désigne du doigt les correspondances terme à terme. On place alors un jeton en regard de chaque élément du cercle modèle, de manière à construire un cercle de plus grand diamètre par correspondance terme à terme : "Il y aura assez de jetons pour mettre devant chacun ? - Oui.- Pourquoi? - C'est la même chose. "Mais une fois le grand cercle concentrique achevé, Nil ne croit plus à l'équivalence : "Il y a la même chose de jetons ? – Non. – Pourquoi ? Parce que c'est plus grand."              (Piaget, Szeminska, G.N., p. 86)

OOOOOO

O  O  O  O  O  O

Figure 1.

Per (5;7) établit d'emblée une rangée-copie de 6 par correspondance avec le modèle. On resserre les grains du modèle (cf. Fig. 1). "C'est moi qui a le plus. – Pourquoi ? - Parce que c'est une ligne plus longue. - (L'inverse.) - Maintenant c'est là qu'il y en a le plus, parce que c'est une grande ligne." Mais un instant après Per dit le contraire : "Il y a plus à manger ici (espacés) ? - Non. - Pourquoi pas ? - Parce que c'est long. - Et là (serré) ? - Là il y a plus, parce qu'il y a un petit paquet (=c'est serré). - Il y a plus dans un petit paquet que dans une grande ligne ? - Oui." Après quoi Per revient au primat de la longueur, puis, rétablit la correspondance visuelle et dit "Maintenant c'est les deux la même chose."                                                           (G.N., p. 95)

Ba (4;9) réussit à reproduire, à une ou deux erreurs près, d'ailleurs momentanées, les figures telles que le cercle de 9 jetons, un angle droit à 11 jetons et sait faire correspondre des jetons à des allumettes, selon diverses combinaisons, en reproduisant toujours la figure perçue. Pour la figure V (losange de 13 jetons) Ba met au centre une rangée de 5 (juste) et en dessous un triangle de 4 jetons (juste). Mais il met au-dessus 2 éléments seulement au lieu de 4 : "C'est autant? - Oui. - Comment tu sais ? - (Il pointe alors du doigt chaque élément du modèle et chaque jeton correspondant de la copie, et s'écrie, parvenu au sommet Je m'ai trompé, j'ai mal fait (Il se corrige d'emblée)."

Mais malgré ces réussites, Ba ne croit pas l'équivalence nécessaire lorsque l'on altère la disposition de l'une des collections qu'il vient de mettre en correspondance. Il suffit, par exemple, de coucher sur le grand côté un rectangle de 12 jetons qu'il a construit en hauteur pour qu'il ne le croie plus équivalent au modèle.

(G.N., p.90)

1) Procédures : Elles marquent une différenciation entre le distinct et le continu. Les éléments sont distingués les uns des autres, autrement dit les enfants de ce niveau abordent une collection discrète comme telle, et c’est un progrès. Ils réalisent d'abord une correspondance tâtonnante puis ils s'autocorrigent en recourant au modèle. Ils pointent les éléments de manière à n'en oublier aucun et à n'en compter aucun deux fois. Le cas le plus instructif est celui de Nil qui est capable d'anticiper la reconstitution de la correspondance sans en déduire la conservation. Cette observation tend à montrer que la pratique de la correspondance a laissé une trace tenace, mais que cette trace ne tient pas encore lieu de preuve quantitative (1 pour 1 n'équivaut pas à 1=1). C'est dire combien les procédures de correspondance restent qualitatives : X1 pour Y1, X2 pour Y2 etc., les rapports topologiques entre les éléments sont respectés car leurs positions sont jugées absolues.

2) Réalisations. Le recours au modèle aboutit le plus souvent à sa copie exacte, la forme et le nombre sont parfaitement reproduits, mais trop parfaitement pour n’être pas suspects.

3) Justifications. On note : a) une discordance entre la correspondance réalisée, puis anticipée et l'absence de conservation ; b) une insensibilité à la contradiction. Les jugements de non conservation contradictoires se multiplient. Per, comme tous ses semblables, règle d'abord son jugement sur une dimension (longueur), puis sur l'autre (densité) ; mais ses changements de critère ne le gênent guère, il est invulnérable.

4) Synthèse : les caractéristiques de ce niveau

a) Au plan formel, la quantité n'existe pas encore, elle est intuitionnée, sans plus. Le tout est délimité sous une configuration particulière. Toutefois, on assiste à des gains manifestes par rapport au niveau précédent. "La précision apportée à l'analyse des formes est de bonne qualité. Toutes les parties de la totalité sont perçues et comparées ; il n'y a plus de détails privilégiés" (G.N., p. 107).

La correspondance, bien que confinée dans la lecture des données, est acquise. Elle se fonde sur des ressemblances entre la longueur des intervalles et les positions de chaque élément. Un élément est connu par les qualités spatiales dont il est porteur dans la première configuration. La longueur totale de la rangée et celle des intervalles immédiatement perçues sont les qualités qui servent à régler les "plus" et les "moins". Autrement dit, la correspondance est encore définie par la ressemblance des qualités qui sont toutes parfaitement distinguées. L'enfant construit des collections qui se ressemblent trait pour trait. Mais, la notion d’unité fait défaut faute de pouvoir déqualifier les éléments de leurs qualités spatiales qui sont encore jugées absolues. "Les éléments ne sont pas encore suffisamment déqualifiés pour être connus équivalents" (G.N., p. 118).

L'ordre apparaît dans le pointage, mais les éléments sont distingués de manière si rigide que leur succession ne se conserve pas en l'absence des qualités spatiales qui ont présidé à la première mise en correspondance. L'ordre n'est donc pas connu vicariant puisqu’il ne peut pas varier selon les configurations.

b) Au plan psychologique, la pensée gagne peu en mobilité. Elle n'est pas du tout capable de décomposition et recomposition propres à maîtriser la notion de quantité. En fait, l'ensemble des observations de ce niveau peut être caractérisé par :

- une réversibilité par réciprocité très rudimentaire. Ainsi, à partir de : a) deux rangées d'égale longueur mais numériquement inégales, c'est toujours la rangée la plus dense qui est reconnue la plus nombreuse ; b) deux rangées de longueur et densité inégales, c'est la rangée la plus longue et la plus dense qui est reconnue la plus nombreuse ; c) deux rangées de densité égale mais de longueur inégale, c'est la rangée la plus longue qui est reconnue la plus nombreuse. "Les résultats de ces multiplications entre deux dimensions ne nécessitent pas d'abstraire une quantité, puisque leur résultat est évident à la perception même." (G.N., p. 115)

 - une réversibilité par inversion également très rudimentaire. En réponse à la question : "Que faudrait-il faire pour qu'il y en ait pareil ?" La réponse "les rebouger comme avant " est imparable. Cette réponse témoigne de ce que Jean Piaget appelle la renversabilité. Il s'agit d'un nécessaire retour empirique ou simplement évoqué à l'état initial, seul garant d'une "égalité qualitative" lue ou évoquée dans les données. Tout compte fait, l'expression de Gréco: "Avoir de bons yeux pour voir" est la caractéristique de ce niveau.

En résumé, les gains de ce niveau concernent l'analyse perceptive du tout et de ses parties. Les manques portent sur l'absence de partage du tout en unités déqualifiées et substituables, strictement ordonnées (aucun redoublement, aucune omission) selon un ordre vicariant. Les enfants de ce niveau réalisent une correspondance qualifiée.

Niveau 3: La quotité sans la quantité : égalité numérique sans conservation quantitative (âge approximatif: 5/6 ans). Ce niveau intermédiaire est dû aux travaux de Pierre Gréco (1962).

Observations ( A= collection de l’expérimentateur, B = 

Pul (6;3) Sa correspondance méthodique, accompagnée de commentaires verbaux tels que "Un là, encore un là, celui-là j'ai mis." etc. aboutit à B = 9 (exact)."Fini ! - C'est juste ? - (Acquiescement convaincu par hochement de tête) - Comment sais-tu que c'est juste ? - J'ai compté. - Tu as compté quoi ? - J'ai compté un, et puis un, et puis un, comme là (A). - Et ça fait combien de rouges ? - (Mimique d'ignorance) - Qu'est-ce que tu ferais pour être tout à fait sûre si c'est juste ? - Je compterais. - Compte voir ! - (Elle pointe alors simultanément les blancs et les rouges qu'elle a disposés en cercle, en employant les deux index et en disant : Là, là, là. et là." Refus obstiné de recourir au dénombrement, avec cet argument de l'innocence convaincue : "Et si tu comptais d'abord les blancs et après les rouges ? Mais puisque c'est juste comme ça !"   Gréco E.E.G. XIII, p. 38

Tib (4;11) Conservation numérique: (Fig. 2) "Où y a-t-il plus, maintenant? - En bas (B'), y a celui-là (le jeton qui "dépasse") en plus. - Est-ce qu'on peut remettre comme avant ? - Bien sûr, c'est le même nombre de puces. - Et comme c'est là, est-ce que c'est aussi le même nombre ? - Oui, le même nombre, mais y a plus en bas, parce qu'il y en a un en trop" (Le "mais" est spontané.).

O  O  O  O  O  O  O  O

O   O  O   O  O   O  O   O

Figure 2

Cal (5;3) – Conservation numérique: (Fig. 2). "Est-ce que c'est encore la même chose, maintenant, A et B'? - Pas la même chose, mais c'est toujours le même nombre. - Pourquoi dis-tu que ce n'est pas la même chose ? - Parce qu'il y a plus en bas. - Plus de quoi ? - Plus de boutons. - Mais c'est toujours le même nombre ? - Oui, le même nombre. - Compte les boutons en haut (compte) Huit (faux, A = 7). - Et en bas, combien, devine sans compter ? - Huit aussi. - Mais tu dis qu'il y a plus de boutons en bas ? – Ah ! oui, pardon (sic) alors, neuf (et, en riant et en montrant le jeton qui "dépasse") j'avais oublié ce petit-là !" (E.E.G. XIII, p. 5)

1) Procédures. Le pointage et le recours au modèle sont quasi systématiques. Le recours au dénombrement pour réaliser la correspondance n'est pas spontané. Les enfants lui préfèrent la correspondance (cf. Pul). "Le dénombrement, en tant que pratique provoquée, est à la disposition des sujets dès 5 ans, mais il faut attendre 7 ans pour que cet instrument apparaisse comme l'instrument le plus sûr ou le plus direct de la construction des équivalences" (E.E.G. XIII, p. 44). La correspondance restera d'ailleurs jusqu'à 10 ans et plus l'instrument premier et favori de l'égalisation entre deux collections nombreuses (plus de 25 éléments) lorsque celles-ci sont proches l’une de l’autre (Chalon-Blanc, non publié).

2) Réalisations. Les figures peuvent être des reproductions exactes des modèles.

3) Justifications. Ce niveau se caractérise de deux façons.

a) D’abord par une discordance entre le maintien de l'égalité numérique et la non-conservation de l'égalité quantitative. C'est un niveau intermédiaire entre "le changement absolu et définitif dont s’accommode la pensée figurale ; ce n’est pas encore la permanence dans le changement que reconnaîtra sans hésitation la pensée opératoire" (Gréco, S.S., p. 145). Ici, seul le nombre est maintenu tandis que la quantité change, sans que ces grandeurs considérées différentes provoquent des conflits trop difficiles à gérer. Dans l'entretien de Cal, on peut relever trois jugements d'égalité numérique, deux jugements de non-conservation de la quantité et un très joli conflit cognitif. Conflit provoqué par une judicieuse question de l'expérimentateur : "Plus de quoi ?" La réponse : "Plus de boutons" permet à Gréco de souligner une contradiction entre "8 et 8" et "plus de boutons en bas". Cal entend la contradiction mais gère ce conflit naissant au détriment de l’égalité numérique : "Ah! oui, pardon, alors neuf, j'avais oublié ce petit-là!" Comme tous ses semblables, il n’est pas encore tout à fait capable de coordonner le non-ajout et le dépassement d'un bouton. Le principe de non-contradiction naissant l'empêche de se contredire mais le "principe" de non-conservation l'autorise à modifier la somme.

b) Ensuite par une possibilité de vulnérabilité porteuse de progrès qui prend source dans des informations hétérogènes maintenues en conscience : "Est vrai ce que je vois et ce que je compte (en acte): 7 jetons comptés sont bien équivalents à 7 autres jetons comptés. (Mais est vrai également) ce que je conclus : 7 n'ont pu devenir 8 si on n'a rien ajouté mais ils ont pu devenir "plus" puisqu’ après tout la ligne s'est allongée" (E.E.G. XIII, p. 60). Il faudrait ajouter à cette remarque que 7 peuvent tout de même devenir 8 lorsque l’enfant entend ses contradictions, tant et si bien que le dénombrement instrumental cède devant la tentation figurale. "Dépasser" peut encore signifier "ajouter" faute de composition entre l'écartement et l'allongement. Les mots des nombres ne sont donc pas maniés comme des nombres mais, selon Gréco, ils commencent peut-être à leur ressembler : "Deux quantités dénombrées sont équivalentes parce que c'est ainsi, mais il aurait pu en être autrement. C'est une conservation jusqu'à preuve du contraire (cf. Cal)." (S.S., pp. 164-165)

Pour compléter les informations relatives au rôle du dénombrement mis en évidence par Pierre Gréco, nous vous proposons de lire l’évolution du dénombrement telle qu’il la décrit.

"Revenons à considérer le dénombrement. D'abord pratique aveugle et cadeau que la société nous transmet prématurément, c'est un outil ; comme tout bon outil, il n'existe que si l'on s'en sert, il n'est que ce qu'on en sait faire, et nous ne savons d'abord en faire que ce qui est fixé par le mode d'emploi. A 5 ans, l'enfant le manie comme un jouet : pur plaisir fonctionnel, pur jeu d'exercice ; la vérité reste dans les figures. A 6 ans, il sait déjà l'employer pour des tâches bien précises, et requises sans ambiguïté. Pour construire un ensemble équivalent à un ensemble donné, il n'y recourra guère et préférera un appariement effectif. Pour vérifier, il y songera déjà. Pour comparer deux ensembles, il le négligera tant que les figures lui paraîtront suffisamment explicites. Mais si on le lui commande, il l'exécutera, puisqu'il sait le faire; et, l'utilisant en fait, il découvrira des vérités de fait, meilleures déjà que les conjectures: "J'avais pas compté", dit Clob, cité plus haut, pour excuser ses erreurs et ses contradictions. Comme ces vérités ne relèvent toutefois que de l'ordre empirique, elles ne sauraient s'étendre au-delà du constat.» (E.E.G. XIII, p. 61).

4) Synthèse : les caractéristiques de ce niveau

a) Au plan formel, les progrès des notions constitutives du nombre sont analysés différemment par Piaget et par Gréco.

Pour Piaget, il s'agit d'un pseudo-nombre. Pseudo-nombre car les éléments dénombrés sont ceux d'une collection, ils ne sont pas des unités substituables. La position univoque des éléments chute devant l’élément qui dépasse, recompté deux fois par Cal. Ce nombre maintenu est issu d'une pratique instrumentale identique (on a fait la même chose) qui aboutit à un résultat identique (on a dit le même nombre) ; rien ne vient contrarier ces identités attachées aux données. Mais dès que l’égalité quantitative n’est plus constatable, la pensée ne la rétablit pas : "En somme, la figure perceptive une fois détruite, l'enfant peut bien en prévoir la reconstitution possible (et le même nombre), mais il ne peut toujours pas raisonner sur les éléments de cette structure défaite : il n'est nullement certain que la somme des éléments soit demeurée invariante." (Piaget, L.M.D.M., p. 232)

Pour Gréco, il s'agit d'un quasi-nombre car l'enfant établit des classes d'équivalence numérique (7 et 7, 8 et 8). Il prédit, il devine le même nombre et justifie cette égalité numérique par un argument de conservation : "pas enlevé, pas ajouté" (Clob). Quasi-nombre aussi parce que l'ordre d'énumération transforme le discret physique en du discret numérique. Cela reconnu, il reste à comprendre ce qu'est au juste ce nombre qui se maintient sans la quantité, et Gréco s'emploie à le faire. S'agit-il d'un simple mot-nombre ou s'agit-il de plus ? Probablement de plus pour Gréco dans la mesure où les enfants de ce niveau prédisent que la collection cachée contient le même nombre d'éléments que celle qu'ils ont dénombrée. Mais pour nous, cette prévision ressemble à s'y méprendre à l'anticipation de Nil du niveau 2 ; deviner le même nombre équivaut peut-être à évoquer la même figure, nous venons de le souligner plus haut.

Selon nous, qui sommes proche de Piaget, chez les sujets du niveau 2 de Piaget, tout comme chez les sujets de niveau 3 de Gréco, la correspondance a laissé des traces mais qui ne sont pas encore les preuves de l’invariance de l’égalité. La quantité n’est pas construite.

b) Au plan psychologique:

Selon Piaget : La pensée est toujours irréversible, seule la renversabilité est attestée : "Bien sûr on peut les remettre comme avant, puisque c'est le même nombre de puces" témoigne d'une renversabilité assouplie en regard du terrible verdict initial du niveau 2 : "Il faut les rebouger comme avant". Il s'agit bien de renversabilité, sans plus, puisque le possible retour en arrière n'annule pas la conviction de l'inégalité : "Il y en a un en trop" (Tib). Autrement dit, l'action de remettre comme avant est dissociée de l'action directe de transformation, mais le retour est "évocable" de même que la figure qui en résulte, et c'est un progrès en regard du niveau 1. En revanche, l’absence d’annulation entre l’aller et le retour est un manque en regard du niveau suivant.

Pour Gréco, la question est plus délicate car ce nombre abstrait est illisible dans les données. On ne voit en effet ni 8, ni 9, ni 15, ni 22. Si l'on ajoute 2 éléments dans un tas de 12, cet ajout ne se voit pas. Si l'on retire 2 éléments, le retrait ne se voit pas davantage. Illisible, le nombre (supérieur 7 ou 8) est dit ultra figural, il ne peut donc être abstrait des objets. Et pourtant cette abstraction ne relève pas encore d'une pensée qui s'éloigne des données immédiates dans la mesure où une modification de la forme est toujours assimilable à une augmentation ou une diminution de la quantité. Bien qu'ultra figural, le nombre commun à deux collections n'est pas encore le produit de transformations composables. Mais il relève bel et bien, et Gréco y insiste, de l'activité du sujet qui en dénombrant, écarte, épuise les éléments du tout et prépare ainsi la mise en place d'un ordre opératoire. Gréco réhabilite l’activité de dénombrement dans la construction du nombre mais il conclut néanmoins : « L’apprentissage des nombres laisse entier, même dans des situations triviales, le problème d’apprendre à s’en servir, à en faire quelque chose. » (E.E.G. XIII, p. 45).

En résumé, les gains de ce niveau sont relatifs aux conflits provoqués par le dénombrement qui renforce l'impact de la correspondance (ordre de succession nominale conforme à l'ordre de succession des objets) sans pour autant la transformer en une correspondance quelconque. Le même nombre, ultra figural, peut se maintenir car il n'a pas à se battre contre des formes différentes : il en est libéré. Mais la quantité, moulée dans ses apparences, n'est pas conservée. Elle doit être détachée de ses formes pour que celles-ci soient composées entre elles.

Niveau 4: La correspondance opératoire. On rappellera qu'une correspondance opératoire est fondée sur des opérations, c’est-à-dire un groupement d’actions exécutées intérieurement (âge approximatif : 6/7 ans). L’action directe de transformation est immédiatement coordonnée à l’action inverse qui l’annule. Ce qui signifie qu’à chaque instant t+1 de la transformation, la pensée revient à l’instant t-1 qui la précédait et repart à t 2 qui vient de succéder à t 1. La pensée exécute des allers-retours permanents.

Observations :                               

Fav (5;6) réussit d'emblée la correspondance devant des formes fermées connues, ex: cercle, carré, maison, en copiant encore la forme mais en admettant l'équivalence des collections en cas de changements de disposition. Pour une figure fermée complexe, ex: losange, Fav commence par copier le modèle, puis il compte verbalement: "Il faut encore ajouter 3", etc., puis, s'embrouillant, il renonce à la fois à la copie visuelle et à la numération parlée, et, ce qui est très caractéristique de ce stade, il procède par correspondance "quelconque": il dissocie les éléments du modèle et les aligne 2 par 2 en une double rangée verticale, puis fait de même avec les jetons de sa propre collection, mais les aligne 2 par 2 en une double rangée horizontale. Il voit aussitôt ainsi qu'il lui manque un élément et le rajoute.                      (Piaget et Szeminska, G.N., p. 88)

Maw (6;0), de même, réussit à reproduire sans faute des figures complexes, comme celles du losange, mais pour le contrôle, il ne se fie qu'à la correspondance: "C'est la même chose? - (Il compte 12 et 13) Il y en a un trop (enlève 1, à tort, s'étant simplement trompé en comptant). - Mais alors pourquoi il y a une place vide ici (jeton enlevé) ?" Maw fait alors comme Fav: il détruit sa propre figure et met les jetons en ligne, puis, du doigt, il fait la correspondance avec les éléments de la figure modèle, demeurés en place. Il voit alors qu'il manque un jeton, qu'il rajoute enfin. De même, lorsqu'il fait correspondre 22 allumettes à 22 jetons, disposées selon une figure complexe, il compte celles-là à voix basse : "Il y en a autant ? - Oui. – Combien ? - Je ne sais pas (a oublié le dernier nombre cardinal). - Alors comment tu sais que c'est la même chose ? - Chaque fois que j'ai mis une allumette, j'ai pris (= pointé) un jeton. - Et comment sais-tu que tu ne t'es jamais trompé ? - (Il aligne alors les objets et place une allumette au-dessus de chaque jeton)."

Il va de soi que Fav et Maw croient à l'équivalence durable des collections correspondantes puisqu'ils dissocient d'eux-mêmes les figures pour vérifier leur égalité numérique.   (G.N., p. 88)

1) Les procédures sont quantitatives. Les enfants ont recours au modèle et pointent les éléments. Qui plus est, ils modifient spontanément la collection témoin lorsqu'elle gène leur repérage en posant la désormais très prudente question : "Est-ce qu'on peut y toucher ?" Cette question est une attestation de la compréhension de la nécessité de l'ordre. Le repérage doit être effectué de manière exacte. La collection témoin n'est donc plus appréhendée comme une forme à imiter puisqu'elle elle est déformée pour être triée et épuisée. Ces procédures qui témoignent de la disparition des caractères qualitatifs assignés à la quantité marquent un progrès considérable de la pensée. Dans cette même perspective, on notera chez Lan (cf. ci-dessous) des manifestations patentes de deux propriétés du nombre : l'ordre et l'associativité. L'index vient au secours de l’œil qui repère l’un après l’autre les éléments (correspondance du regard). Ce contrôle visuel propre à la pensée opératoire est jugé si fragile par elle qu'il est relayé par celui de l'index (index posé sur la 4ème allumette). La nécessité de bien ordonner est très explicite, de même que l'opération associative : un paquet de 4 puis un paquet de 2 est une stratégie parmi d'autres possibles pour construire le nombre total. Par cette procédure déliée, Lan dit avec élégance qu'une somme est indépendante de la manière de composer ses parties.

2) Les réalisations. Les copies exactes du modèle sont rares mais restent possibles lorsque la collection témoin est disposée selon une configuration très régulière ; en revanche, les contacts spatiaux entre les éléments disparaissent définitivement.

Réalisation proche du modèle :

Fet (5;5): "Prends la même chose que ça (6 sous)."Il aligne 6 sous la rangée modèle, mais dispose d'emblée les siens en suite beaucoup plus serrée que ceux du modèle, donc sans contact spatial entre les éléments: la rangée initiale déborde même des deux côtés la copie. "Tu as la même chose ? - Oui. - Vous êtes la même chose riche, celui-là et toi ? - Oui. - (On serre les sous du modèle et on espace les siens). - Et maintenant ? - La même chose. - Tout à fait ? - Oui. - Pourquoi c'est la même chose ? - Parce qu'on les a rapprochés (= on a simplement serré)."

                                                                                       (G.N., p. 100)Réalisation éloignée du modèle :

Lan (6;2), pour reproduire une rangée de 6 allumettes en prend 4 dans sa main, sans compter mais en faisant la correspondance du regard. Parvenu à ce point, il pose l'index sur la quatrième allumette du modèle, en prend encore 2, puis place ses 6 allumettes devant la rangée-modèle, mais en tas et sans contact spatial. Nous répartissons alors ses 6 en une rangée et serrons les autres en un faisceau posé perpendiculairement : "C'est la même chose? - C'est sûr. -Pourquoi ? - Parce qu'avant celles-là (les siennes) étaient en paquet et vous les avez maintenant mises comme ça (espacées), et avant celles-là (modèle) étaient écartées et maintenant vous les avez mises en paquet."                                                                                (G.N., p. 100)

3) Les justifications. Le gain décisif de ce niveau est celui de la conservation de la quantité, aussi analyserons-nous maintenant les arguments de conservation chez Fet et Lan.

Fet (5;5) justifie l'égalité quantitative en invoquant la transformation effectuée: "On les a rapprochés". Si on poussait plus loin l'entretien, on suggérerait qu'en les rapprochant ils sont devenus "plus courts et par conséquent moins nombreux". Cette contre-suggestion pourrait inciter Fet à fournir un argument de réversibilité par réciprocité. On pourrait également essayer d'obtenir un argument de réversibilité par inversion qui annulerait le resserrement par l'écartement. Ces techniques seraient utiles à mieux dégager les caractères de la pensée opératoire. Elles sont en tout cas inutiles avec Lan (6,2): "Les miennes étaient en paquets, vous les avez écartées. Les autres étaient écartées et maintenant vous les avez mises en paquet". Lan explique l'égalité quantitative à partir des transformations exécutées qui s'annulent l'une l'autre. On ne peut fournir de meilleurs indices de la réversibilité de la pensée ; la manière de l'exprimer est quasiment parfaite.

4) Synthèse : les caractéristiques de ce niveau.

a) Au plan formel, la quantité est construite. Un tout est bien la somme de ses parties quel que soit leur arrangement. Pour passer de n à n 1, il ne suffit plus d'un dépassement mais d'un ajout réel. La classe est constituée d'unités substituables ordonnées de manière équidistante. L'ordre tel que "un pour un seulement" est parfaitement maîtrisé puisque soumis à vérification en cas de difficultés, chez Lan notamment. La vicariance est assurée : les sous de Fet ou les allumettes de Lan peuvent être bousculées, le premier peut devenir le cinquième, la somme totale n'en est pas modifiée. Bref, le système des unités séparées par l'itération additive. C'est dire que "les éléments des collections ont été déqualifiés à tous égards, ils sont devenus des unités substituables à tous égards sauf celui de la position que chacun occupe momentanément et relativement à une configuration donnée (G.N., p. 103)".

b) Au plan psychologique :

La pensée qui engendre ce système est elle-même composée d'un groupe de transformations réversibles. Chaque transformation est coordonnée à son inverse ou à sa réciproque, l'action directe d'écartement est annulée par le resserrement, en même temps qu'elle est solidaire de l'allongement. Chaque transformation peut être composée avec une autre, inversée par une autre, et associée à d’autres pour aboutir au même résultat.

Cette pensée fait l'économie de toute preuve inutile. Le retour empirique ou simplement évoqué à l’égalité lue n'est plus jugé nécessaire pour conserver une quantité lorsque les transformations exécutées ont été réellement vues. Dès lors, aux questions : "Faut-il les remettre comme avant ou les recompter pour savoir s'il y a la même quantité ?", la réponse est toujours négative avec justifications à l'appui: "Non, vous n'avez rien enlevé (ou ajouté)".

En résumé, le sujet de ce niveau passe d’une correspondance qualifiée à une correspondance quelconque. Autrement dit, on assiste au dégel des configurations statiques, dégel qui lui permet de manipuler un vrai nombre, une vraie quantité discrète.

A.C.B.

On peut apprendre la suite nominale des nombres en grande section de l’école maternelle, pourquoi pas ? Le lecteur de cet article aura compris que la connaissance de cette suite (cf les travaux de Gréco 1962) peut correspondre au maniement de pseudo-nombres ou quasi-nombres et non pas à celui de vrais nombres. Les épreuves de conservation des collections figurant les nombres, présentées ci-dessus, aideront les maîtres à éviter cette confusion, nous l’espérons. En classe de CP et CE1, ils pourront passer ensuite à figurer les objets des collections à l’aide de symboles non analogiques écrits au tableau ou sur papier (* * * * * * *) ou (x x x x x x x x) etc. Ils finiront par l’écriture des nombres à l’aide de signes arbitraires et universels (7,1, 6,2,5…) et de symboles universels et arbitraires ( , -, ×, :). Cette progression déjà connue est celle de la méthode dite de Singapour*.

Références

*Brissiaud, R. (2017). Méthode de Singapour et Lévothyrox. www.cafepedagogique.net (pour information).

Chalon-Blanc, A. (2005). Inventer, compter et classer. De Piaget aux débats actuels. Paris : A. Colin. (pp. 79-96).

Gréco, P. (1962) : Structures numériques élémentaires, E.E.G. XIII, Paris: P.U.F.(pp.29-70).

Piaget, J. (1941). Le mécanisme du développement mental, LDDM. Archives de psychologie, pp.218-249.

Piaget,J ; Szeminska,A. (1941). La genèse du nombre chez l’enfant, G.N. Paris : Delachaux et Niestlé. (pp.50-122).

Villani, C ; Torrossian, C. (2018). Rapport : 21 mesures pour l’enseignement des mathématiques.www.education.gouv.fr

1. timss (enquête 2015, CM1: trends mathematics science study